KOMPUTERY, INFORMATYKA I TECHNOLOGIA INFORMACYJNA W NAUCZANIU MATEMATYKI

Maciej M. Sysło
Instytut Informatyki, Uniwersytet Wrocławski
ul. Przesmyckiego 20, 51-151 Wrocław
syslo@ii.uni.wroc.pl

The purpose of computing is insight not numbers
Celem obliczeń nie są same liczby lecz ich zrozumienie
[R.W. Hamming]

1. Wprowadzenie

    Poprzednikami dzisiejszych komputerów były w przeszłości abakusy (takie, jak soroban, powszechnie używany do dzisiaj w Japonii, również w szkołach na lekcjach matematyki), kalkulatory (budowali je m.in. Pascal i Leibniz) i różnego rodzaju maszyny mechaniczne (np. maszyna różnicowa i maszyna analityczna Babbage'a), konstruowane do wykonywania z ich pomocą wybranych działań na liczbach [1].
     Pierwsze komputery elektroniczne były nazywane przez ich twórców, którymi głównie byli matematycy, maszynami cyfrowymi (ang. digital machine) lub maszynami matematycznymi, gdyż ich podstawowym przeznaczeniem były obliczenia matematyczne.
     Powstawaniu coraz to nowych konstrukcji komputerów (rzeczywistych i teoretycznych) towarzyszyło wyłanianie się nowej dziedziny wiedzy - informatyki (ang. computer science), która zajmuje się obecnie głównie: projektowaniem, realizacją, ocenianiem, zastosowaniami i konserwacją systemów przetwarzania informacji z uwzględnieniem przy tym aspektów teoretycznych, sprzętowych, programowych, organizacyjnych i ludzkich wraz z implikacjami przemysłowymi, handlowymi, publicznymi i politycznymi. Jednym z najszybciej rozwijających się działów informatyki jest algorytmika, zajmująca się podstawami obliczeń komputerowych [6].
     W ostatniej dekadzie jesteśmy świadkami powstawania jeszcze jednej, nowej, interdyscyplinarnej dziedziny wiedzy - nauk obliczeniowych (ang. computing science lub computational science), które są dotyczą stosowania komputerów w analizie problemów naukowych, pochodzących z różnych dziedzin. Rozwój tej dziedziny jest związany z rosnącą popularnością metod komputerowych we wszystkich naukach oraz powstawaniem coraz potężniejszych (super)komputerów. Sama moc komputerów jest bezużyteczna, jeśli nie stoją za nią wspierające ją metody obliczeniowe. Matematyka i informatyka odgrywają w tym kluczową rolę jako dziedziny dostarczające modeli matematycznych i efektywnych metod ich rozwiązywania.
     Nieustannie rozszerzające się zastosowania informatyki w społeczeństwie oraz zwiększenie roli komputerów w komunikacji i wymianie informacji miało wpływ na pojawienie się nowej dziedziny, technologii informacyjnej - TI (ang. information technology), która znacznie wykracza swoim zakresem poza tradycyjnie rozumianą informatykę1. Technologia informacyjna (TI) jest to zespół środków (czyli urządzeń, takich jak komputery i ich urządzenia zewnętrzne oraz sieci komputerowe) i narzędzi (czyli oprogramowanie), jak również inne technologie (takie, jak telekomunikacja), które służą wszechstronnemu posługiwaniu się informacją. TI obejmuje więc swoim zakresem m.in.: informację, komputery, informatykę i komunikację. Współczesna technologia informacyjna wyrosła na bazie zastosowań komputerów, a jej decydujące znaczenie dla życia społeczeństw upoważnia do zdefiniowania końca XX wieku jako ery informacji i jej technologii [4] Można już podać przykłady wpływu technologii informacyjnej na osiągnięcia w matematyce. Otrzymywanie coraz większych liczb pierwszych było dotychczas domeną superkomputerów i sprawdzianem ich rosnącej mocy. Aż pojawiła się w sieci Internet propozycja współpracy setek lub tysięcy komputerów osobistych nad generowaniem kolejnych, pierwszych liczb Mersenne'a [7, 11, 12]. Dzięki temu, ostanie rekordowe liczby pierwsze zostały znalezione właśnie na komputerach IBM PC.
     Maszyny wspomagające obliczenia są, z jednej strony, oparte na własnościach działań, a ogólniej - algorytmów, do wykonywania których zostały zaprojektowane, a z drugiej - miały i nadal mają duży wpływ na rozwój metod obliczeniowych oraz matematyki. Druga część tego stwierdzenia odnosi się zwłaszcza do komputerów programowalnych. Nie ma przesady w stwierdzeniu, że komputery, obliczenia komputerowe i komputerowe metody matematyczne stały się integralną częścią nauk matematycznych. W ograniczonym zakresie, odnosi się to również do kalkulatorów.
     Komputery pojawiły się w dociekaniach matematyków, a dzisiaj występują powszechnie w codziennym wykonywaniu obliczeń. Powinny więc zostać uwzględnione również w nauczaniu matematyki, jako element wiedzy matematycznej oraz wyposażenie ucznia, przygotowywanego do stosowania matematyki na co dzień, w trakcie zdobywania wykształcenia, a później - w swoim życiu zawodowym. W tym integrowaniu komputerów z matematyką pomocna może być informatyka a także technologia informacyjna, dostarczające podstaw i metod posługiwania się komputerami oraz przykładów dobrej praktyki w ich stosowaniu.

1.1 . Wybrane fakty z historii informatyki na tle historii matematyki

Historia informatyki, w tym - historia komputerów, jest nierozerwalnie związana z historią matematyki, tworzyli ją bowiem często ci sami ludzie. Dopiero w ostatnich latach, największy postęp w rozwoju komputerów i metod obliczeniowych zawdzięczamy również osiągnięciom w innych dziedzinach, takich jak technika (przyspieszanie obliczeń dzięki szybszym procesorom i ich zwielokrotnianiu), nauki przyrodnicze (komputery neuronowe, nowe metody, takie jak algorytmy genetyczne).
     Chociaż określenie algorytm wiąże się z nazwiskiem matematyka żyjącego pod koniec pierwszego tysiąclecia naszej ery a dziedzina algorytmika, zajmująca się tworzeniem i badaniem własności algorytmów, ukształtowała się przy końcu drugiego tysiąclecia [6], pierwszy algorytm w dzisiejszym rozumieniu tego terminu pochodzi sprzed ponad 2000 lat. Algorytm Euklidesa, bo o nim tutaj mowa, z wyjątkiem ostatnich pięćdziesięciu lat swojej historii, był nawet utożsamiany z pojęciem algorytmu.
     W XVII wieku żyli i tworzyli dwaj wielcy matematycy, G.W. Leibniz i B. Pascal. Obaj są znani dzisiaj również ze swoich arytmometrów. Pascal, chcąc dopomóc swojemu ojcu, poborcy podatkowemu, zbudował Pascalinę, za pomocą której można było dodawać i odejmować liczby. Ambitniejsze zadanie postawił sobie Leibniz - jego maszyna, w której zastosował binarny system do zapisu liczb, mogła wykonywać mnożenie liczb. Ponadto, wiązał on z systemem binarnym swoje idee filozoficzne, że w języku matematyki za pomocą skończonej liczby symboli można zapisać każde twierdzenie.
     Za pomocą maszyn Pascala i Leibniza nie było jeszcze można w pełni automatycznie i w całości wykonać prostego działania na dwóch liczbach. Na początku XIX wieku, jeszcze bardziej ambitny cel postawił sobie Ch. Babbage, również matematyk. Najpierw zaprojektował maszynę różnicową, która miała służyć do wypełniania tablic (użytecznych m.in. w obserwacjach astronomicznych i w nawigacji morskiej) metodą różnicową. Część tej maszyny, nadal sprawną, można oglądać w Muzeum Nauk w Londynie. Ale Babbage na tym nie poprzestał i zaprojektował maszynę analityczną. Niektóre z jego pomysłów, zawartych w tym projekcie, zrealizowano dopiero we współczesnych komputerach (np. pamięć operacyjna, arytmometr, karty perforowane). Realności drugiemu pomysłowi Babbage'a dodaje dzisiaj fakt, że znalazła się wtedy osoba, Ada, córka Byrona, która nie czekając na zbudowanie tej maszyny zaczęła pisać dla niej programy. Uważa się ją obecnie za pierwszą programistkę [9].
     Na początku XX wieku matematycy żywo interesowali się modelami obliczeń, chcąc udzielić odpowiedzi na jedno z pytań postawionych przez D. Hilberta w jego programie matematyki dla tego wieku. W 1936 roku, jeszcze przed zbudowaniem pierwszego elektronicznego komputera, A. Turing, opisał bardzo prostą maszynę, która może być wyprowadzona od zwykłych obliczeń na pokratkowanej kartce papieru. Dzisiaj, maszyna Turinga jest uniwersalnym modelem komputera i obliczeń. Mniej znane są osiągnięcia i zasługi Turinga w budowie rzeczywistych komputerów - uczestnicząc w pracach nad złamaniem maszyn szyfrujących Enigma, przyczynił się do zbudowania komputerów Coloss.
     Postacią Numer Jeden w historii informatyki jest J. von Neumann. W 1946 roku zainspirował on prace w projekcie EDVAC, których celem było zbudowanie komputera bez wad poprzednich konstrukcji. Zaproponował architekturę komputerów, według której buduje się te maszyny do dzisiaj.
     Historia polskiej informatyki ma już ponad 50 lat a jej początki i długie lata mają ścisły związek z pracami matematyków. Pierwsza jednostka, w której podjęto prace nad konstrukcjami komputerów, nosiła nazwę Zakład Aparatów Matematycznych i została utworzona w Państwowym Instytucie Matematycznym z inicjatywy profesora K. Kuratowskiego [10].

1.2 . Komputery w uprawianiu matematyki

Komputery działają, czyli wykonują podstawowe działania arytmetyczne z coraz większą szybkością. Co więcej, w odróżnieniu od obliczeń wykonywanych bez pomocy komputera, tyle samo czasu trwa dodanie w komputerze dwóch liczb dwucyfrowych, jak i dwóch liczb złożonych na przykład z osiemnastu cyfr. W ostatnich latach zwiększono jeszcze bardziej szybkość pracy komputerów, sięgając po możliwość wykonywania obliczeń w sposób równoległy, czyli współbieżnie, z wykorzystaniem wielu procesorów połączonych ze sobą siecią, służącą m.in. do synchronizacji procesorów i wymiany informacji między nimi.
     Istnieją jednak problemy obliczeniowe w matematyce i w wielu innych dziedzinach, o których wiadomo, że ani dzisiaj, ani w najbliższej przyszłości, komputery a nawet superkomputery, działające sekwencyjnie czy równolegle, nie będą w stanie pomóc w otrzymaniu ich rozwiązania. Ten fakt wykorzystuje się nawet w kryptografii do szyfrowania wiadomości - ktoś, kto chciałby złamać szyfr i odczytać ukrytą wiadomość, musiałby najpierw rozwiązać taki problem.
     Istnieje jednak sposób zwiększenia mocy komputerów, czyli ich przyspieszenia:
Najlepszym sposobem przyspieszania pracy komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań.

[Ralph Gomory (IBM)]

    Chcąc więc szybciej wykonywać obliczenia komputerowe, czyli móc szybko rozwiązywać problemy o dużych rozmiarach (czyli o dużej liczbie danych), powinniśmy dysponować metodami, które po prostu wykonują mniej działań. Tymi zagadnieniami zajmuje się analiza złożoności obliczeniowej problemów, zbudowana na mocnych podstawach matematycznych, w której głównymi obiektami i wynikami badań są algorytmy.
     Możliwości komputerów wykonywania obliczeń szybko i na dużych liczbach mają istotny wpływ na wyniki w takich dziedzinach badań i zastosowań matematycznych, jak: teoria liczby, zwłaszcza w zakresie obliczeń na dużych liczbach, rozwiązywanie równań (algebraicznych i różniczkowych) modelujących rzeczywiste zjawiska przyrodnicze, techniczne, gospodarcza i społeczne.
     Komputery wkroczyły również do tych obszarów działalności matematycznej, które tradycyjnie były uważane za pole działania czystego umysłu i znaleźć już można wiele problemów, dla których istnieją jedynie dowody komputerowe. Pierwszym z nich był problem czterech barw, rozstrzygnięty przez K. Appela i W. Hakena z istotną pomocą informatyka J. Kocha i komputera IBM.

1.3 . Komputery i informatyka w matematyce na co dzień

     Matematyka stosowana na co dzień, to głównie obliczenia związane z: techniką, prowadzeniem działalności ekonomicznej i finansowej, badaniem własności dużej ilości danych oraz oceną sytuacji niepewnych. Językiem matematyki i jego logiką posługujemy się nawet częściej, gdy na przykład musimy precyzyjnie opisać sytuację problemową, a później ją rozwiązać - wtedy dodatkowo przydaje się myślenie algorytmiczne.
     Znajomość języka matematyki objawia się również jako umiejętność rozumienia przekazów, formułowanych z wykorzystaniem pojęć i narzędzi matematyki. W przypadku problemów praktycznych, wyniki dociekań wykorzystujących matematykę są obecnie najczęściej otrzymywane za pomocą komputerów i metod informatycznych. Każdy powinien je umieć odczytać, zinterpretować i ewentualnie zweryfikować pod względem zgodności z rzeczywistością oraz przydatności dla swoich indywidualnych celów.

2. Komputery w nauczaniu matematyki

Miejsce i rola komputerów w szkolnej edukacji matematycznej, z jednej strony - charakteryzuje się ogólnymi regułami wykorzystania komputerów w edukacji, a z drugiej - jest pod przemożnym wpływem bardzo silnych związków między oboma dziedzinami, matematyką i informatyką.
     Nauczanie matematyki powinno uwzględniać zarówno stan matematyki, jako dziedziny wiedzy, jak również jej znaczenie i użyteczność dla każdego człowieka. Ani w jednym, ani w drugim nie można dzisiaj pominąć roli komputerów i informatyki, a technologia informacyjna dodatkowo stwarza nowe możliwości porozumiewania się.
     W wielu obowiązujących programach nauczania matematyki uwzględniono, iż matematyka:

2.1 . Rola komputerów i informatyki w nauczaniu matematyki

Jak dotychczas jednak, nie dość mocno akcentowano w programach nauczania matematyki, a zwłaszcza w pakietach edukacyjnych przeznaczonych dla uczniów i dla nauczycieli oraz w samym jej nauczaniu, rolę komputerów2. Tutaj wyraźnie należy rozróżnić dwie funkcje komputera na zajęciach matematycznych:

Użycie programu, który umożliwia analizę wykresu funkcji liniowej, jest przykładem skorzystania jedynie z pomocy komputerowej. Natomiast, posłużenie się arkuszem kalkulacyjnym do wykonania realnych obliczeń finansowych, związanych z kontem bankowym lub ubezpieczeniem, jest przykładem treści i umiejętności, w których pewne operacje matematyczne zostały zintegrowane z narzędziami TI. W obu przypadkach występują zarówno zadania matematyczne, jak i elementy posługiwania się komputerem, ale w pierwszym przypadku uczeń mający wyobraźnię matematyczną na ogół nie korzysta z pomocy komputera, natomiast w drugim - nie można zrezygnować z posłużenia się komputerem, gdyż stał się on integralną częścią "uprawiania matematyki".
     Nie zawsze to rozróżnienie dwóch funkcji komputera jest wyraźne. Między wspomagającą a kreującą funkcją komputera w edukacji można wyróżnić cztery grupy powiązań komputerów z nauczanymi treściami i formami przekazu, których wyróżnikiem jest skala tych powiązań i wynikający z nich wpływ komputerów na tematyczny zakres zajęć i stopień opanowania przez uczniów przewidywanych umiejętności:
1. Wspomaganie tradycyjnych treści i form przekazu - treści kształcenia i formy przekazu pozostają takie same, wspomagamy je jedynie komputerem. Na przykład: możemy zautomatyzować wykonywanie ćwiczeń drill-and-practice za pomocą specjalnych programów ćwiczących; dane z ankiety można zebrać w tabeli arkusza kalkulacyjnego i wybrać dla nich wykres kołowy i słupkowy; wykonywanie prostych obliczeń finansowych można usprawnić, posługując się arkuszem lub innymi programami.
2. Wzbogacanie tradycyjnych treści i form przekazu - użycie komputera istotnie wzbogaca i urozmaica to, co dotychczas wykonywano bez komputerów. Na przykład, automatyzując ćwiczenia drill-and-practice, uzupełniamy je losowo generowanymi różnorodnymi układami zadań, które umożliwiają dostosowanie ćwiczeń do poziomu i postępów uczącego się, ponadto program śledzi postępy uczniów; dane z tabeli arkusza są ilustrowane wieloma wykresami w jednym układzie lub wykresami 3D (trójwymiarowymi); obliczenia finansowe, wykonywane w arkuszu, można rozszerzyć o symulację zmian w obliczeniach dla różnych wartości parametrów.
3. Nowe możliwości w zakresie tradycyjnych treści nauczania i umiejętności - posłużenie się komputerem i technologią informacyjną stwarza nowe możliwości przy realizacji i kształtowaniu tradycyjnych treści i umiejętności, czyli takich, które dotychczas znajdowały się w programie nauczania. W tej grupie można wymienić: zbieranie danych oraz tworzenie ich graficznych reprezentacji w trakcie symulacji różnego charakteru zmian wśród liczb; wykonywanie dynamicznych konstrukcji geometrycznych; obróbkę dużych zbiorów danych; przeszukiwanie informacji rozproszonych po różnych źródłach, w tym także w sieci; wykonywanie pełnego rachunku ekonomicznego dla rzeczywistego przedsięwzięcia.
4. Nowe treści - wnoszone do poszczególnych dziedzin nauczania za sprawą posłużenia się komputerem lub technologią informacyjną. W tej grupie znajdują się np.: analiza (statystyczna) dużych zbiorów danych, pochodzących np. z ankiet lub eksperymentów; wykonywanie obliczeń przybliżonych z zadaną dokładnością; konstruowanie komputerowych modeli zjawisk i ich symulacja; wykonywanie cyfrowej (liczbowej) symulacji zjawisk.
     Przykładowo, z zakresu matematyki szkolnej na każdym etapie kształcenia, opracowywanie danych jest tym działem programu nauczania, w którym można wskazać wszystkie cztery rodzaje powiązań komputera, informatyki i technologii informacyjnej z nauczaniem, od wspomagania po nowe treści. Od strony informatyki zaś, arkusz kalkulacyjny jest tym narzędziem informatycznym, którego użycie może wspomagać, wzbogacać i wnosić nowe możliwości w zakresie tradycyjnych treści oraz dostarczać nowych treści. Szczegółowe rozważania na ten temat znajdą się w części projektu Spotkania i nauka z komputerem, poświęconej nauce matematyki z komputerem (zob. pkt.3).
    Dotychczas, dużo uwagi przywiązywano w edukacji do komputerów, wspomagających jedynie tradycyjne nauczanie. Obecnie, w związku z coraz większą ich rolą w wielu dziedzinach nauki i zastosowań, główny nacisk powinien być położony na wzbogacanie tych dziedzin oraz na nowe możliwości, wnoszone do nich przez komputery i technologię informacyjną. Uczniowie, przygotowywani do życia w społeczeństwie informacyjnym, powinni bowiem zdobywać wiedzę i kształtować umiejętności odpowiednie do współczesnego stanu dziedzin nauczania - w poznawaniu przyszłości nie wystarczy posługiwać się narzędziami z przeszłości.
     Komputery mogą pełnić również pomocniczą rolę w organizacji procesu nauczania matematyki - piszemy o tym w p. 2.3.

2.2 . Różny stopień integracji komputerów z nauczaniem matematyki

Powodzenie w stosowaniu komputerów w edukacji matematycznej zależy od stopnia ich integracji z treściami i metodami uczenia się i nauczania, a więc od ich zintegrowania w programach nauczania i w pomocach dydaktycznych dla uczniów i dla nauczycieli. Odnosi się to w równym stopniu do wszystkich czterech grup zagadnień z poprzedniego punktu, różniących się między sobą stopniem uwzględnienia i wpływu komputerów. W zakresie integracji, można również wymienić cztery stopnie, w kolejności rosnącej siły włączenia (zaangażowania) pomocy komputerowych:
1. Dodanie, postawienie komputerów i pomocy komputerowych "obok" środowisk uczenia się. W tym przypadku, chociaż komputer wraz ze swoim oprogramowaniem jest dostępny w szkole dla uczniów i dla nauczycieli, to jednak ani program nauczania i inne pomoce dydaktyczne (np. podręczniki i zeszyty ćwiczeń) nie uwzględniają posługiwania się nim, ani nauczyciele nie są do tego odpowiednio przygotowani. Tak można scharakteryzować pierwszy etap wprowadzania komputerów do szkół, gdy poza zmianą warunków technicznych (np. poprzez zakup komputerów) nie wprowadzono jeszcze zmian w sposobach nauczania i towarzyszących im pomocach. Większość dziedzin nauczania, w tym również matematyka, w większości polskich szkół, które są już wyposażone w komputery, znajduje się na tym właśnie etapie.
2. "Umieszczenie" komputerów i TI w matematyce. Polega to na tym, że w programie nauczania matematyki uwzględniono posługiwanie się komputerem, w podręcznikach znajdują się zapisy odnoszące się do korzystania z komputera (najczęściej w osobnych rozdziałach), komputery są wyposażone w odpowiednie dla danej dziedziny oprogramowanie, nauczyciele są ogólnie przygotowani do posługiwania się komputerem, ale działania te nie są ze sobą zsynchronizowane i np.: odwołania do komputera w podręcznikach mają charakter opcjonalny ("jeśli masz komputer, to posłuż się nim"), oprogramowanie nie jest odpowiednie do zadań przewidzianych w programach nauczania, nauczyciele nie są przygotowani do realizacji zapisów programowych, zapisów w podręcznikach i stosowania przewidzianego oprogramowania. Ten sposób "umieszczenia" komputerów i technologii informacyjnej w nauczaniu ma nadal ciążącą na nim cechę "dodania" - komputer już jest umieszczony w matematyce, ale jeszcze traktuje się go jako dodatek, nie w pełni z nią zintegrowany. W tym sensie, komputer obecnie powoli przebija się do matematyki i zapisy, jak wyżej, można znaleźć w niektórych podręcznikach.
3. Zintegrowanie TI z matematyką. Oznacza to pełną integrację: programów nauczania, pomocy dydaktycznych (w tym podręczników, komputerów i oprogramowania) i metod posługiwania się nimi w nauczaniu matematyki. Ponadto, nauczyciele matematyki są przygotowani do korzystania z możliwości technologii informacyjnej, odpowiednio do programów nauczania i pomocy dydaktycznych. Niestety w polskich szkołach, komputery i TI nie zostały dotychczas zintegrowane w tym sensie z żadną dziedziną nauczania. W przypadku matematyki, poczyniono już znaczny postęp w tym kierunku, zwłaszcza w pracach programowych, przy opracowywaniu pomocy dydaktycznych i w szkoleniach nauczycieli. Niestety, nie spowodowało to dotychczas większych zmian w szkołach, w pracy uczniów i z uczniami.
4. Pełna integracja międzyprzedmiotowa. O pełnej integracji technologii informacyjnej z matematyką, można mówić dopiero wtedy, gdy TI integruje wszystkie dziedziny nauczania, w których występuje matematyka. Przykładowo, uczniowie posługują się tabelą i wykresami przy opracowywaniu wyników obserwacji (przyrodniczych, ekologicznych) i wyników eksperymentów (chemicznych, fizycznych), wykonywaniu obliczeń fizycznych i technicznych, prowadzeniu obliczeń ekonomicznych. W takim zakresie, wykorzystanie komputerów (a dokładniej, arkusza kalkulacyjnego) powinno dotyczyć wszystkich tych przypadków. W erze technologii informacyjnej dochodzi jeszcze jedna umiejętność ponadprzedmiotowa, która jest nie mniej ważna dla życia w społeczeństwie informacyjnym, niż te klasyczne umiejętności pisania i rachowania, a mianowicie umiejętność pracy z informacją. W jej kształtowaniu podstawową rolę odgrywa posługiwanie się technologią informacyjną. O wadze tej umiejętności może świadczyć umieszczenie jej wśród ogólnych zadań szkoły w Podstawie programowej: "Nauczyciele stwarzają uczniom warunki do nabywania następujących umiejętności: ...5. poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji z różnych źródeł oraz efektywnego posługiwania się technologią informacyjną."
     Wyniki badań nad skutecznością komputerowych pomocy dydaktycznych, przeprowadzone w ostatnich latach w wielu państwach, wykazały, że dotychczasowy brak wyraźnych sukcesów na polu stosowania komputerów w edukacji jest spowodowany niewystarczającą ich integracją z nauczaniem. Nie wystarcza bowiem postawić te wspaniałe maszyny "obok" nauczycieli i tego, co się dzieje w szkole, by przez samą ich obecność odnosiły pozytywny skutek. Niezbędne jest ich koncepcyjne "umieszczenie" w każdej sferze procesu uczenia się i nauczania oraz ich wzajemne zintegrowanie. Pisało o tym wielu ekspertów w dziedzinie edukacji.

2.3 . Dodatkowa rola komputerów w procesie nauczania

    Komputery w nauczaniu matematyki mogą być również wykorzystywane do testowania osiągnięć uczniów oraz do organizacji procesu nauczania. W tej dziedzinie mamy obecnie na rynku coraz większą ofertę pomocy komputerowych, związanych z konkretnym programem nauczania (jak Matematyka 2001, WSiP) lub niezależnych od programu nauczania (Testy z matematyki, Wydawnictwo Szkolne PWN). Te pomoce komputerowe mogą być bezpośrednio wykorzystane do testowania osiągnięć uczniów lub mogą posłużyć nauczycielowi do zaprojektowania i wydrukowania testu własnej konstrukcji.
     Komputer, a zwłaszcza jako element szeroko rozumianej technologii informacyjnej, może być środkiem komunikacji i źródłem informacji zarówno dla nauczyciela, jak i dla ucznia. Wspomnieliśmy już o olbrzymim przełomie, jaki, dzięki wykorzystaniu sieci Internet, dokonał się w dziedzinie poszukiwania coraz większych liczb pierwszych - w tym mogą brać udział również uczniowie. Z kolei, jako pomoc dydaktyczna, serwis internetowy on-line może być wykorzystywany przez autorów pakietów edukacyjnych i przez wydawnictwa do zapewnienia ciągłego kontaktu ze szkołami, nauczycielami i uczniami (taką możliwość oferuje program Matematyka 2001).

3. Sugestie działań

    Jeśli nauczanie matematyki ma uwzględniać aktualny stan tej dziedziny i wskazywać uczniom na codzienną użyteczność matematyki, to tej drugiej funkcji komputerów w matematyce nie można traktować jedynie jako ilustracji, dodanej do działań uczniów i nauczyciela, ale powinna ona występować jako nierozerwalna część dziedziny, a zatem - jako część programu nauczania matematyki i jego realizacji w szkole. Komputery ze swoimi metodami powinny być umieszczone w matematyce i z nią zintegrowane, a nie jedynie dodane.
     Korzystanie z komputerów może przynosić również korzyści metodyczne. Współistnieć mogą bowiem dwa, uzupełniające się podejścia: uczeń może najpierw poznać zasadność i sposób wykonania pewnych działań matematycznych i później przystąpić do ich wykonywania za pomocą komputera, albo może posłużyć się komputerem, by jednocześnie zrozumieć wykonywane działania i wykonać obliczenia; w niektórych przypadkach może nawet zrozumieć sposób wykonywania działań przez ich komputerowe wykonanie.
     W istniejących programach nauczania matematyki oraz w Podstawie programowej, można znaleźć wiele sugestii i zaleceń związanych ze stosowaniem komputerów. Przy tym, w przypadku matematyki, chodzi nie tylko o wspomaganie procesu uczenia się i nauczania, ale o takie posługiwanie się komputerem, które wzbogaca umiejętności i kompetencje matematyczne każdego ucznia. Niestety, jak dotychczas, nie zostało to uwzględnione w żadnym podręczniku dla ucznia i w poradniku dla nauczyciela. W efekcie, w nauczaniu matematyki komputer pojawia się sporadycznie, częściej jako pomoc dydaktyczna, a prawie wcale jako element kształcenia matematycznego. Posługiwanie się arkuszem kalkulacyjnym do wykonywania obliczeń, pojawiające się najczęściej na lekcjach informatyki, nie można uznać za kształcenie w zakresie matematyki.
     Jak zmienić tę sytuację? Wymaga to zmian w programach nauczania matematyki, i dość poważnych uzupełnień w podręcznikach i zeszytach ćwiczeń dla uczniów oraz w poradnikach dla nauczycieli. Pociąga to za sobą również konieczność przygotowania nauczycieli do tak zmienionych programów i pomocy dydaktycznych.

3.1 . Propozycja

Zespół autorów z Instytutu Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego, we współpracy z Wydawnictwami Szkolnymi i Pedagogicznymi, pracuje nad projektem Spotkania i nauka z komputerem, w którym jest realizowane założenie o pełnej integracji komputerów i technologii informacyjnej ze wszystkimi dziedzinami nauczania, w tym również z matematyką, oraz ich włączenie do tych dziedzin. Dotyczy to zarówno zajęć z informatyki - są to spotkania z komputerem, które służą przygotowaniu uczniów do posługiwania się tą technologią na innych lekcjach, jak i do wybranych zajęć z innych przedmiotów, na których komputery są ściśle związane z treściami i formą nauczania - wtedy odbywa się nauka z komputerem.

Od nowego roku szkolnego 1999/2000 jest dostępna pierwsza część pakietu edukacyjnego dla szkoły podstawowej, przeznaczona na spotkania z komputerem (podręcznik [3], poradnik dla nauczycieli [4]) oraz oprogramowanie TI'99, które umożliwia uczniom pracę w środowisku komputerowym, dostosowanym do ich możliwości i potrzeb. W 2001 roku ukaże się druga część pakietu dla szkoły podstawowej przeznaczona do nauki z komputerem, w tym m.in. na lekcjach matematyki. Od roku szkolnego 2000/2001 będzie dostępny pakiet do gimnazjum [5] - w maju 2000 ukaże się jego na spotkania z komputerem, a w 2001 roku zostaną wydane materiały do nauki z komputerem.
     Integracja komputerów i TI z różnymi przedmiotami odbywa się w tym projekcie zarówno na etapie przygotowania uczniów do posługiwania się komputerem, jak i w trakcie nauki z wykorzystaniem komputera. Służą temu odpowiednio dobrane przykłady z różnych dziedzin nauczania oraz przyjęte podejście - czynnościowe poznawanie możliwości komputerów poprzez rozwiązywanie odpowiednio dobieranych zadań. Dla przykładu (zob. [3]), uczeń po raz pierwszy styka się z arkuszem kalkulacyjnym na lekcjach informatyki w trakcie opracowywania wyników przeprowadzonej w klasie ankiety - poznaje wtedy sposoby wypełniania arkusza, obliczanie sumy (wie z matematyki, co to suma), tworzenie wykresów słupkowych i kołowych (umie już odczytywać wykresy), porządkowanie w kolumnach (wie, co to uporządkowanie). Natomiast na lekcjach matematyki, powinien następnie poznać znaczenia pojęć, operacji i działań matematycznych, które wystąpiły w rozwiązaniu zadania informatycznego.
     Integracja międzyprzedmiotowa wymaga współpracy nauczycieli różnych przedmiotów, a w zakresie technologii informacyjnej, wymaga dodatkowo odpowiedniego przygotowania nauczycieli. Standardy takiego przygotowania wszystkich nauczycieli są zaproponowane na stronie [8].

Cytowana literatura

[1] Elementy informatyki. Podręcznik, pod redakcją M.M. Sysły, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997.
[2] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., Informatyka i technologia informacyjna, Program nauczania dla szkoły podstawowej (DKW-4014-5/99), Program nauczania dla gimnazjum (DKW-4014-80/99), WSiP, Warszawa 1999.
[3] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., INFORMATYKA. Podręcznik dla ucznia szkoły podstawowej. Klasy 4 - 6, (Nr w wykazie 109/99), WSiP, Warszawa 1999.
[4] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., INFORMATYKA. Poradnik dla nauczycieli szkoły podstawowej. Klasy 4 - 6, WSiP, Warszawa 1999.
[5] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., Informatyka w gimnazjum. Pierwsze lekcje, WSiP, Warszawa 1999 (w druku znajdują się odpowiedniki pozycji [3] i [4] dla gimnazjum).
[6] Harel D., Algorytmika. Rzecz o istocie informatyki, WNT, Warszawa 1992.
[7] http://www.kaszub.top.pl/~adamk/GIMPS/pl/status.html
[8] http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/
[9] Kim E.E., Toole B.A., Ada i pierwszy komputer, Świat Nauki 7/1999.
[10] Madey J., Sysło M.M., Początki informatyki w Polsce, ukaże się w Informatyce a wersja angielskojęzyczna w History of Computing.
[11] Sysło M.M., Algorytmy, WSiP, Warszawa 1997.
[12] Sysło M.M, Piramidy, szyszki i inne konstrukcje algorytmiczne, WSiP, Warszawa 1998.

1) Coraz popularniejsze staje się w państwach Wspólnoty Europejskiej określenie technologia informacyjna i komunikacyjna, w którym oba aspekty, informacja - jako obiekt podlegający działaniu, i komunikacja - jako przeznaczenie informacji i cel działania technologii, zostają zrównane.

2) W tym artykule nie uwzględniono programu nauczania i działań zespołu Henryka Kąkola, związanych z połączeniem w jednym programie matematyki z elementami informatyki. W chwili pisania tego artykułu ta inicjatywa nie była znana autorowi.